A Pascal háromszög

A leírást ajánlom mindazoknak akik kicsit többet akarnak foglalkozni a kombinatórikával (gondolva itt IS tippre) vagy csak kíváncsiak, hogy mi ben segíthet a matematika.


A végtelenül folytatható számtáblázatról és annak kombinatorikai jelentőségéről először Blaise Pascal jelentetett meg írást. Manapság szokásosabb így elrendezni a háromszöget:

                                    1                                    
                                1        1                                
                            1        2        1                            
                        1        3        3        1                        
                    1        4        6        4        1                    
                1        5        10        10        5        1                
            1        6        15        20        15        6        1            
        1        7        21        35        35        21        7        1        
    1        8        28        56        70        56        28        8        1    
1        9        36        84        126        126        84        36        9        1

    Ezt a háromszöget Pascal háromszögnek nevezzük.
    Az egy darab egyesből álló felső sor a Pascal háromszög 0. (nulladik) sora, utána lejjebb szokásosan jön az 1., 2., stb sor. A Pascal háromszög n-edik sorában tehát n+1 szám van, a szélsők 1-esek mellettük egy-egy n áll (ha n>0).
    Az egyes sorokon belül is 0-tól sorszámozzuk az elemeket, tehát pld a vastagított 56-os szám a Pascal háromszög 8. sorának 3. eleme.

A Pascal háromszög rekurzív  előállítása:
A felső sorba – a háromszög csúcsába - írjunk egy 1-est és minden további elem legyen a fölötte (balra fölötte és jobbra fölötte) lévő egy vagy két elem összege.

A Pascal háromszög közvetlen kombinatorikai jelentése:
Az adott helyre írt szám megmondja, hogy hányféleképpen juthatunk el a háromszög csúcsából az adott helyre, ha csak balra lefelé és jobbra lefelé léphetünk.

A Pascal háromszög explicit  előállítása:
A 8.sor 3. eleme az 56, ezt a   formula is megadja. Általában, az n-edik sor k-adik elemét megadó képlet:  (A tört számlálójában k tényező van.) Ez a kifejezés (n – k) faktoriálissal  bővítve így is írható: